Дискуссии - Наука

В. Б. Кудрин

От читателей поступает множество вопросов о различии терминов "гилетическое" и "p-адическое число". Выражают ли эти термины одну и ту же реальность? Постараемся, как можно более чётко, выразить свою позицию по этому вопросу.

Понятие гилетического числа (от греческого слова ὑλή = hyle = вещество) впервые введено А.Ф. Лосевым в работе "Музыка как предмет логики". По формулировке Лосева, "гилетическое число выражает момент иного, меонального размыва и подвижности, смысловой текучести и жизненности эйдоса, т.е. самого предмета" [Лосев, 1990].

Термин "гилетика" впервые был применен Эдмундом Гуссерлем в работе "Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии": "Естественно, что чистая гилетика подчинена феноменологии трансцендентального сознания. Кстати говоря, эта чистая гилетика обладает характером замкнутой в себе дисциплины, как таковая, имеет свою внутреннюю ценность, а, с точки зрения функциональной, и значение – благодаря тому, что она вплетает возможные нити в интенциональную паутину, поставляет возможный материал для интенциональных формирований" [Гуссерль, 1999]. Из приведенной цитаты видно, что для Гуссерля слово "гилетический" было синонимом слова "чувственный" или "материальный" (имелся в виду материал переживаний), но Лосев различает эти понятия, в смысле их различения в греческой и латинской культурах. Хотя Цицерон и ввел слово materia как перевод греческого ὑλή, оно отличается от латинского materia именно тем, что materia – это ὑλή, взятое в момент его наблюдения, a ὑλή включает в себя все моменты существования вещественного предмета, всю его биографию, реализованную в виде конкретного гилетического числа.

Значение греческого слова ὑλή так же относится к значению латинского materia, как объем шара относится к его поверхности. Латинская часть культурного мiра, говоря о веществе, подразумевает его нынешнее видимое состояние. В философии Нового времени, а затем и в "научном мiровоззрении" XVII – XX столетий рассмотрение объема шара незаметно подменилось рассмотрением лишь его поверхности. Можно сказать, что "научное мiровоззрение" в его привычном понимании поверхностно не в переносном, а в самом прямом смысле слова. Преодолевается эта поверхностность лосевской философией числа, представляющей собой покаяние ("изменение ума"), которое так же необходимо в науке, как и в этике.

Может показаться странным противопоставление понятий "гилетический" и "вещественный": ведь ὑλή как раз и означает вещество, а вещественные числа успешно применяются в математике уже более пяти тысяч лет! Но, как мы увидим далее, значения этих слов имеют существенные оттенки, позволяющие их строго различать, и Лосев был совершенно прав, противопоставив их. Речь идет не о том, чтобы дать новое название уже известному предмету. Число в общепринятом понимании представляет собой как бы моментальный снимок гилетического числа, сделанный на его вещественной стадии, оцепеневшее число, тело числа, разлученное с душой. Поэтому и область его применения ограничивается вещественным мiром. Греческое понятие ὑλή, в отличие от латинского materia, включает в себя и материю умопостигаемого мiра, сакральную материю, или, выражаясь словами Гуссерля, "материю переживаний", тогда как materia – это вещество лишь физической оболочки мiра, видимого мiра.

"He-объективная и не-субъективная, чистая идея числа, переходя в свое инобытие, превращается прежде всего в физически-материальное, пространственно-временное число" [Лосев, 2013] – пишет Лосев в своем фундаментальном труде "Диалектические основы математики", написанном еще в 30-е гг., но впервые увидевшем свет лишь в 1997 году и переизданном в 2013. В этой работе Лосев окончательно формулирует понятие числа: "Число есть прежде всего отвлеченная сфера чистого смысла, а не выразительная… Число есть самый акт смыслового полагания, а не содержание этого полагания… Число есть ставший результат энергии самосозидания акта смыслового полагания"[ibid].

Если мыслить выражение "ставший результат" не как остановку во времени "акта смыслового полагания", а как непрекращающийся процесс, то это определение вполне приложимо именно к гилетическому числу, хотя сам этот термин Лосевым больше не используется. Теперь он понимает под числом "полное" число, включающее понятие континуума в качестве инобытия "общепринятого" числа. Поэтому отныне, говоря "число" и не сопровождая это слово какими-либо "ограничительными" прилагательными, мы будем "по умолчанию" подразумевать "полное" число, то есть число гилетическое, в более ранней терминологии Лосева.

Понять разницу между латинским и греческим восприятиями числа нам опять поможет классическая филология. Греческое слово αριθμός не является простым аналогом латинского numerus (и производных от него новоевропейских numero, Nummer, nombre, number) – его значение гораздо шире, как и значение русского слова "число". Слово "номер" тоже вошло в русский язык, но не стало тождественным слову "число", а применяется лишь к процессу "нумерации" – русская интуиция числа совпадает с греческой. Нумерология не тождественна аритмологии, а только часть аритмологии, хотя формально – это калька соответствующего греческого термина. В современной математике Теория чисел занимается только целыми числами, поэтому более точным ее названием было бы "Теория номеров" (хотя уже есть ещё более узкая "Теория нумераций").

По определению Лосева, "вся математика есть не что иное, как развитое и детализированное понятие числа" [Лосев, 2013]. В процессе создания учения о числе Лосев широко использовал не только пифагорейскую, но и неоплатоническую терминологию. Однако от неоплатонизма учение Лосева принципиально отличается своим христианским персонализмом. Это отчетливо видно даже в тех его работах, где он не мог открыто высказать свои убеждения по вполне понятным цензурным условиям эпохи.

"Диалектические основы математики" Лосев начинает с рассмотрения числа как "факта духовной культуры":

"Ставится задание: рассмотреть число как объективно-социальную действительность, но так, чтобы видны были все логические, сознательные и вообще смысловые скрепы этой объективной действительности. Если бы задание это было выполнимо, мы получили бы число (а значит, и математику) не как предметный продукт мышления и не как физический продукт природы, но как продукт саморефлектирования духа, как факт духовной культуры"[ibid].

Далее он переходит к рассмотрению структуры математики в целом:

"Задача эта трудна и многосложна, и тут необходим тот союз философии и математики, который так част в интуитивных глубинах у настоящих философов и математиков и который так редок у тех, кому суждено повторять и распространять философские и математические идеи, но не создавать их впервые. Вчитываясь в Лейбница, часто не знаешь, философская или чисто математическая интуиция им руководила. Это, конечно, ни то и ни другое, это – то первичное, рождающее лоно идеальной мысли, где философия и математика слиты пока еще в одно нерасчленимое целое. И, когда читаешь Кантора, тоже удивляешься тому, как иная философская идея, вычитанная им у какого-нибудь Фомы Аквинского, чувствуется, именно чувствуется и ощущается, а не просто понимается – чисто математически и арифметически… Вдумчивый наблюдатель обнаружит, что на глубине у этого гениального человека философия и математика слиты до полной неразличимости и являются единой и целостной могучей интуицией, способной оплодотворить и определить собою как чисто философскую, так и чисто математическую систему.

Философия математики должна вернуть нас к этому глубинному союзу философии и математики. Она, философия математики, должна в расчлененном и яснейшем виде показать, конструировать то нерасчлененное и неясное, что лежит в основе общей философско-математической интуиции, отказавшись как от формализма и пустоты, техницизма математических доказательств, так и отвлеченности и слишком большой общности философских теорий"[ibid].

Лосев был убежден, что современная ему математика "Нового времени", ограничив область своего применения лишь мiром вещественным, не способна адекватно представить даже этот вещественный мiр. Фактически она занимается не Реальностью, а мiром порожденных ею самой иллюзорных умственных конструкций. Эта "иллюзорная математика", доведенная до крайних пределов иллюзорности в интуиционистской модели Брауэра, оказалась непригодной для моделирования процессов запоминания и воспроизведения информации.

Для того, чтобы математика отражала не только изменения, происходящие на трехмерной поверхности видимого мiра, но и реальное взаимодействие видимого и невидимого мiров, осуществляющееся во всем объеме мiрового пространства – надо не пытаться редуцировать это взаимодействие к господствующим ныне математическим методам, а создать адекватную ему математическую модель.

Необходима переоценка самих оснований математики, ее аксиоматики. К этой переоценке и приступает Лосев в "Диалектических основах математики". Он пишет:

"… Общей особенностью современной математической аксиоматики является ее формалистический и антидиалектический характер. Выставляется ряд аксиом; и – неизвестно почему, собственно взяты эти аксиомы, а не другие и откуда можно почерпнуть гарантию полноты этого списка аксиом. Такая беспомощность вполне характерна, напр., для знаменитого Гильберта, которого математики почему-то особенно превозносят именно в этом отношении. Мы читаем его перечисление аксиом – и совершенно не знаем, откуда он их получил, как к ним логически пришел и действительно ли все аксиомы тут перечислены. Ведь система аксиом должна быть такова, чтобы была действительно ясна ее полнота и логическая завершенность. У Гильберта же мы можем в крайнем случае сказать только то, что каждая из данных аксиом имеет в математике действительное значение, но совсем не можем сказать, что тут исчерпана вся аксиоматика, и не знаем, где гарантия ее логической законченности" [ibid].

Критикуя учение Леопольда Кронекера о сводимости чисел, Лосев пишет: "… общеизвестные попытки свести все типы числа на целое и положительное число, наиболее резким образцом которых может служить учение Кронекера, заведомо обрекаются для нас на полный неуспех. Л. Кронекер сводит всю математику на теорию натуральных чисел и целых целочисленных функций от неопределенных символов u, v, w, при конечном числе операций. В результате все эти ухищрения сводятся только к новому математическому правописанию, так как фактически нет, конечно, никакой возможности избежать самих логических категорий, лежащих в основе каждого типа. <…> Упование на то, что все числа можно «свести» на целые числа, вредно ещё и тем, что оно до известной степени преграждает анализ тех категорий, которые заложены в основе разных типов чисел, понимаемых как специфические индивидуальности. Тут надо уметь не столько «сводить» одно на другое, сколько «выводить» одно из другого" [ibid].

В противоположность знаменитому высказыванию Кронекера: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" (Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека), нам представляется правильным диаметрально противоположное утверждение: "Бог создал полные числа, все остальные виды чисел – искусственные конструкции человеческого рассудка, призванные ограничить понятие и возможности числа для удобства производящих вычисления математиков". (Отметим, что "удобство" это продолжается лишь до того момента, пока вычислители не оказываются в логическом тупике).

Согласно Бернайсу и Гёделю, "математические объекты имеют объективное существование, и работа учёных состоит в том, чтобы открывать характеристики этих объектов". Противоположную позицию занимают конструктивизм и формализм, согласно которым математические объекты – лишь произвольные конструкции учёных, подобные шахматным правилам. Однако и конструктивисты, и формалисты, забывая о декларируемых ими взглядах, в своей повседневной работе ведут себя так, как если бы они сознавали реальность математических объектов.

В 1931 году Курт Гёдель доказал существование высказываний, не выводимых дедуктивным путём из аксиом арифметики. Позже было установлено, что выводимые высказывания составляют лишь неизмеримо малую часть всех высказываний, истинность подавляющего числа которых нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Квантовая теория и теорема Гёделя представляются поверхностному взору никак не связанными друг с другом интеллектуальными построениями, относящимися к различным областям знания. На самом деле они говорят об одном и том же – о невозможности понять мiр, ограничиваясь рассмотрением лишь "сиюминутных" событий, происходящих на трехмерной поверхности Мiровой Сферы, считая все остальные события либо "уже отошедшими в прошлое", либо "еще не наступившими". Это подобно тому, как если бы изучение реального исторического события подменялось изучением кинопленки, на которую это событие было заснято, а смена кадров этой кинопленки выдавалась бы за реальное течение этого события.

Общеизвестные элементарные арифметические операции (сложение, умножение, возведение в степень и обратные к ним) далеко не исчерпывают всего богатства возможных операций. Участие числа в арифметических операциях порождает новые числа. Но "исходное" число при этом никуда не пропадает! В числовом пространстве течение времени определяется производимыми в нём операциями, причём исходные числа не пропадают, а продолжают сосуществовать с результатом операции. Простейший пример: суммируя единицу со знаком плюс с минус единицей, мы получаем не только ноль (как это предполагалось в конвенциональной арифметике) но вечно пребывающую картину произведённой математической операции, содержащей все участвующие в ней числа, так как операция суммирования не уничтожает слагаемые, а дополняет их суммой, так же, как операция умножения – не уничтожает сомножителей, а дополняет их произведением, – это же справедливо для любых математических операций.

В господствующей сегодня редукционистской математике знак операции не принято включать в понятие числа. Но именно операция над числами ответственна за корреляцию между ними, когда исходные числа, переходя из динамийного статуса в энергийный, дают результат в виде третьего числа, причём исходные числа продолжают своё существование во временном измерении числа. Это даёт основание для включения знака операции в понятие числа, причём всё выражение, состоящее из исходных чисел, знака операции и результата, – можно будет считать единым гилетическим числом. В этой связи имеет смысл вновь рассмотреть публикации В.А. Бунина, предложившего способы расширения не только понятия числа, но и действия, путем замены привычных символов математических операций на обычные скалярные числа, соответствующие ступеням действий, благодаря чему возникают уравнения, в которых искомым может быть сам тип операции [Бунин, 2010].

Течение "числового времени" можно рассматривать как результат производимой над числом операции. Например, деление любого финитного числа на ноль порождает потенциально трансфинитное множество чисел, но, так как любая операция занимает определённое время, то весь "мiровой процесс", включая и возникновение мiра физического, можно рассматривать как длящейся во времени результат деления на ноль.

В своей ранней работе "Тайны нового мышления" В.Ю. Татур отметил безуспешность попыток некоторых ученых описать квантовые процессы, пользуясь понятиями гильбертова пространства: "Здесь мы имеем явное противоречие между природным процессом и его математическим описанием, отражающим общепринятые представления о пространстве и времени как протяженности и длительности. Поэтому оказалось необходимым определить свойства того уровня материи, который является базисом для описания квантовых объектов как единых и неделимых. Очевидно, что его свойства должны присутствовать в каждой точке пространства, имеющего протяженность. Такие условия позволяют для описания этого уровня использовать математический аппарат нестандартного анализа, в котором в качестве объекта имеет существование монада (терминология Лейбница). Ее свойства таковы, что она может содержать актуально трансфинитное число элементов, и это множество никогда не пересечется с множеством другой монады. Таким образом, можно определить, что каждая точка гильбертова пространства представляет собой многоуровневую систему, в которой происходит движение квантового перехода с изменением энергетического состояния. Всякая макроквантовая система (биосфера, галактика и т. д.) представляет собой на определенном уровне монаду, и, таким образом, является единым и неделимым целым… В парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена нашли наиболее четкую формулировку следствия, вытекающие из нелокальности квантовых объектов, т.е. из того, что измерения в точке А влияют на измерения в точке B. Как показали последние исследования – это влияние происходит со скоростями, большими скорости электромагнитных волн в вакууме. Квантовые объекты, состоящие из любого количества элементов, являются принципиально неделимыми образованиями. На уровне Слабой метрики – квантового аналога пространства и времени – объекты представляют собой монады, для описания которых применим нестандартный анализ. Эти монады взаимодействуют между собой и это проявляется как нестандартная связь, как корреляция" [Татур, 1990].

В работе [Татур, 2020] эта тема получила дальнейшее развитие:

"Чему же соответствуют ультраметрические пространства Qₚ?

Очень чётко об этом написал А.Ю. Хренников в работе «Моделирование процессов мышления в р-адических системах координат»:

«В наших моделях р-адическая метрика имеет ясную когнитивную интерпретацию. Если две идеи имеют обширную общую ассоциацию, то они близки в р-адической метрике. … наши р-адические модели описывают ассоциативное мышление» [Хренников, 2013, с.21].

Таким образом, ультраметрические пространства Qₚ есть форма описания ментальных пространств.

В своей работе «Р-адические числа, ультраметрика и ментально-вещественный мир» [Татур, 2017], я приводил размышления А.Ю. Хренникова к описанию ментального пространств на основе р-адического анализа.

Оно, во-первых, не непрерывно, поскольку мысли нельзя делить до бесконечности, или это означает, что пространство не является связным. «Любое p-адическое дерево можно разбить на две части, не имеющие общей границы или, что эквивалентно, на две непересекающиеся части, являющиеся одновременно и открытыми, и замкнутыми» [Хренников, 2013, с. 11].

Во-вторых, оно дискретно и обладает иерархической структурой, т.е. для двух ментальных объектов всегда существует некоторый ментальный объект, который стоит в иерархической системе выше указанных двух.

В-третьих, оно не является однородным, т.е. существует жесткая иерархия: корень, ствол, ветви, ответвления, листья.

В-четвертых, это пространство ультраметрическое, т.е. два ментальных состояния являются близкими, если у них достаточно длинная общая часть дерева.

В-пятых, оно не является упорядоченным, т.е. нельзя сравнить два произвольных ментальных объекта.

Кроме того, р-адической модели присуща нелокальность, только не в физическом пространстве Rm, а в пространстве Qₚ.

Поскольку всякий объект в физическом пространстве Rm связан с физическими точками этого пространства, то он обязательно связан с некоторым р-адическим деревом пространства Qₚ. Каждое такое дерево – это смысловое поле этого объекта, сопряженность в общей иерархии объектов со смыслами, находящимися выше него.

В своей работе «И Слово стало плотию» [Татур, 2012] я привел для физической точки, например, пять иерархически связанных уровней, начиная с клетки. Их может быть и больше.

Человек, являясь физическим объектом, связан со всеми этими смысловыми уровнями. <…> Своими действиями он может отражать свой р-адический смысл, а может искажать. Такое своеволие связано с тем, что человек, управляя инверсией внешнего во внутреннее, а также саморекурсией, использует свойства субстанции Отображения, которая является основой объектов р-адического пространства. Человек, с одной стороны, есть определенная идея, слово и потому определен в своей деятельности и намерениях, а с другой, - он может управлять субстанцией, которая является основой этих смыслов. Он может действовать не только в рамках пространства своего общественного тела, не только на уровне смыслов Биосферы, но и Вселенной, как всей проявленной материи, Космоса, как всей оформленной материи, и Мiра, как Космоса и субстанции Отображения. Человек не просто космическое существо, связанное со всеми смысловыми уровнями физической точки, человек – деятельный космический субъект, влияющий на все уровни космической иерархии, а потому несущий космическую ответственность. Если человек осознанно мыслит, например, на уровне Биосферы, т.е. в иерархии смыслов и организации физической точки поднимается на уровень выше организации отдельного живого существа или рода, то действия его часто идут в разрез с действиями его соплеменников, а его деятельность в р-адическом пространстве влияет на смыслы существования Биосферы и всех на ней живущих. Степень этого влияния зависит от многих факторов, в том числе от степени слияния индивидуального смысла и смысла, отвечающего бытию Биосферы, от характера механизмов сопряжения изменений в р-адических структурах и физических процессов в Биосфере, клетках, атомах и т.д.

Но если р-адический мир и мир физических процессов существует как единое целое, то должно же существовать соответствие между р-адическими структурами и свойствами объектов и процессов евклидового пространства" [Татур, 2020].

В конце XX – начале XXI столетий В.C. Владимировым, И.В. Воловичем, А.Ю. Хренниковым и В.Ю. Татуром р-адический анализ был применён к явлениям человеческого сознания [Владимиров, Волович, Зелёнов, 1994; Татур, 2017, 2020; Хренников, 2004].

Еще раз отмечу, что согласно В.Ю. Татуру, "Человек, являясь физическим объектом, связан со всеми этими смысловыми уровнями. <…> Своими действиями он может отражать свой р-адический смысл, а может искажать. Такое своеволие связано с тем, что человек, управляя инверсией внешнего во внутреннее, а также саморекурсией, использует свойства субстанции Отображения, которая является основой объектов р-адического пространства. Человек, с одной стороны, есть определенная идея, слово и потому определен в своей деятельности и намерениях, а с другой, – он может управлять субстанцией, которая является основой этих смыслов. Он может действовать не только в рамках пространства своего общественного тела, не только на уровне смыслов Биосферы, но и Вселенной, как всей проявленной материи, Космоса, как всей оформленной материи, и Мира, как Космоса и субстанции Отображения. Человек не просто космическое существо, связанное со всеми смысловыми уровнями физической точки, человек – деятельный космический субъект, влияющий на все уровни космической иерархии, а потому несущий космическую ответственность. Если человек осознанно мыслит, например, на уровне Биосферы, т.е. в иерархии смыслов и организации физической точки поднимается на уровень выше организации отдельного живого существа или рода, то действия его часто идут в разрез с действиями его соплеменников, а его деятельность в р-адическом пространстве влияет на смыслы существования Биосферы и всех на ней живущих. Степень этого влияния зависит от многих факторов, в том числе от степени слияния индивидуального смысла и смысла, отвечающего бытию Биосферы, от характера механизмов сопряжения изменений в р-адических структурах и физических процессов в Биосфере, клетках, атомах и т.д.

Но если р-адический мир и мир физических процессов существует как единое целое, то должно же существовать соответствие между р-адическими структурами и свойствами объектов и процессов евклидового пространства" [Татур, 2020].

Мы привыкли к термину "простые числа", забывая о том, что "простые" они лишь по отношению к операции умножения. Но по отношению к операции сложения единственным простым числом является число 1 (формально к простым числам не относящееся), а все остальные числа – составные.

Попробуем произвести классификацию простых чисел. Сопоставим ряд простых чисел с натуральным рядом, затем – построим ещё один ряд, составленных из тех простых чисел, "номера" которых – тоже простые. Последовательно повторяя эту операцию, мы получим, вместо привычного разделения чисел на простые и составные, – упорядоченные ряды чисел, различающиеся по "степеням простоты". Каждый последующий ряд будет представлять собой подмножество предыдущего ряда [Кудрин, 2016]. Представляет трудность перевод сущности предлагаемой операции на любой иностранный язык, кроме древнегреческого, в котором αριθμός имеет тот же смысл, что и русское слово "число" [Кудрин, 2015].

По-латыни "простое число" – numerus primus, то есть буквально – "номер первый", что совершенно не соответствует сути понятия. Гораздо ближе к ней греческое πρώτος αριθμός – "первое число". Английское выражение prime number – буквально: "начальный (но также и главный, основной) номер" – ещё дальше от сути, чем латинское определение, так как простые числа вовсе не возникли как "начальные" числа, а постепенно "выделились" из множества натуральных чисел в виде их подмножества, представляют собой вторичное понятие по отношению к понятию натуральных чисел.

Понятие простых чисел стало основой отдельной математической дисциплины, получившей название Теории чисел – также условное и не вполне точное, так как в ней рассматриваются не все числа, а лишь числа натуральные. Родившись как наиболее "оторванная от реальной жизни" область чистой математики и став основой Теории чисел, учение о простых числах стало незаменимым в такой сугубо прикладной области, как криптография, а впоследствии может стать математическим аппаратом совершенно новой информатики, основанной на принципе квантовой корреляции. Постепенно стало ясно, что простые числа – не отвлечённое понятие, что они определяют закономерности всех явлений – физических, биологических, социальных. Учение о простых числах и производных от них чисел p-адических позволяет арифметизировать всю математику.

Вывод: p-адические числа, представляющие собой уникальные последовательности степеней простых чисел, всегда гилетичны, так как содержат память о всех произведенных с ними операциях возведения в степень.

Литература:

Бунин В.А. Биоподобие техногенных систем: Математический код метагармонии. М.: КРАСАНД, 2010. – 96 с.

Гуссерль Э.Г. Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии. Т. 1. М.: ДИК, 1999.

Кудрин В.Б. Бытийный статус числа и вселенская информационная сеть – Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013.

Кудрин В.Б. Гилетика в суперсистеме знаний Аристотеля // Biocosmology – neo-Aristotelism. Vol. 5, Nos 3&4, 2015. С. 414 – 422.

Кудрин В.Б. Сложность простых чисел и корреляционная информатика // Biocosmology – neo-Aristotelism. Vol. 6, No 1, 2016. С. 89 – 101.

Кудрин В.Б. Метод классификации простых чисел для уточнения понятий числа и операции // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.25414, 06.05.2019:

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001g/00164026.htm

Лосев А.Ф. Музыка как предмет логики. Из ранних произведений. М.: Правда, 1990.

Лосев А.Ф. Бытие – Имя – Космос. М.: Мысль, 1993.

Лосев А.Ф. Миф — Число — Сущность. М.: Мысль, 1994.

Лосев А.Ф. Форма — Стиль — Выражение. М.: Мысль,1995.

Лосев А.Ф. Критика платонизма у Аристотеля. М.: Академический проект, 2011.

Лосев А.Ф. Диалектические основы математики. М.: Academia, 2013. – 800 с.

Татур В.Ю. Тайны нового мышления. М.:1990.

Татур В.Ю. Р-адические числа, ультраметрика и ментально-вещественный мир // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.23820, 12.10.2017:

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0001/005c/00012019.htm

Татур В.Ю. Р-адический человек. "Другое измерение", 22.03.2020:

https://dzen.ru/a/XnDshiDw3R8creBk

Хренников А.Ю. Моделирование процессов мышления в р-адических системах координат, М.: 2013.

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]