В классической и квантовой механике одну из главных ролей играет гармонический осциллятор (ГО). Большое количество систем ведут себя как ГО при малом отклонении от равновесия. К ним относятся разные маятники (математический, физический, торсионный), грузы на пружинах, электрические колебательные контуры, колебания атомов в молекулах и твердых телах, движение с большой скоростью в вязкой среде и др.

Свободное (гармоническое) колебание такой системы представляет собой периодическое движение около положения равновесия, и описывается простым дифференциальным уравнением второго порядка x'' + ω²x = 0, где ω – циклическая частота.

В зависимости от природы ГО и характера колебательного процесса под переменной x могут пониматься разнообразные физические величины: смещение материальной точки, угол отклонения, ток в электрическом колебательном контуре и т.д.

Колебания изохронны, то есть их период не зависит от амплитуды.

Конечно, ГО – всего лишь приближенная модель, описывающая реальные процессы, но во многих случаях модель весьма удобная и полезная. Хотя далеко не всегда она пригодна для описания сложных колебательных процессов, встречающихся в природе и технике.

Золотое сечение (ЗС) – идеальная аналитико-геометрическая конструкция со своей математической константой. Поэтому и проверять его следует в неких идеализированных условиях, выделяя главное и обнуляя те или иные несущественные физические параметры.

ЗС также иногда называют гармоническим делением. Но это не верно.

Любое деление целого на две неравные части в произвольном отношении всегда образует гармоническую пропорцию, в которую входит классическое (с древних времен) среднее гармоническое.

То есть ЗС – частный случай гармонического деления, которому соответствует золотая пропорция. При этом больший отрезок в ЗС является средним геометрическим меньшего и целого отрезков. Поэтому, если появляется желание как-то выделить и особо подчеркнуть гармонию ЗС, то следует употреблять слово-пароним: "гармоничное деление".

Тем не мене, гармонические колебания и золотое сечение с его особой гармонией имеют общее основание – "гармонию", и просто обязаны иметь общие точки-контакты не только в терминологически-описательной форме, но и в конкретных физических задачах.

Будем искать...

Рассмотрим гармонический осциллятор в виде вертикального пружинного маятника.

Механическая система состоит из пружины с коэффициентом упругости (жесткостью) k, один конец которой жестко закреплен, а ко второму подвешен груз массой m (рис. 1.7-а)

Пружина является идеально упругой, её масса мала по сравнению с массой груза и не учитывается. Груз движется в окружающей среде без трения. Привести систему в движение можно посредством отклонения массы из положения равновесия.

Без потери общности будем считать, что в начальный момент времени пружина не деформирована и находится в расслабленном состоянии.

формате PDF (1001Кб)