Дискуссии - Наука

В. Б. Кудрин

Пифагорейцы понимали под математикой (от греческого μάθημα "изучение через размышление"), не отдельную предметную область знаний, а "точное выражение чего-либо, достигнутое путём размышления". Математика оставалась для них неотъемлемой частью философии. Выделение математики в отдельную от философии предметную область превратило её в изощрённую игру по придуманной игроками правилам, наподобие шахматных или шашечных, причём вопрос о соответствии математических объектов объектам реального мiра даже не принято было ставить. Затем, уже в Новое время, смысл понятия "математика" изменился на прямо противоположный, и она стала ассоциироваться даже не с опытной наукой, а с экспериментальной технологией – допрашиванием природы путём эксперимента.

В противоположность знаменитому высказыванию Кронекера: “Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk” (Бог создал целые числа, всё остальное – дело рук человека), нам представляется правильным диаметрально противоположное утверждение: "Бог создал гилетические числа, остальные виды чисел – искусственные конструкции человеческого рассудка, призванные ограничить понятие и возможности числа для удобства производящих вычисления математиков". (Отметим, что "удобство" это продолжается лишь до того момента, пока сами вычислители не оказываются в логическом тупике). Глава "московской математической школы" академик Н.Н. Лузин высказывался ещё резче: "По-видимому, натуральный ряд чисел не представляет из себя абсолютно объективного образования. По-видимому, он представляет собой функцию головы того математика, который в данном случае говорит о натуральном ряде".

Понять разницу между латинским и греческим восприятиями числа нам поможет классическая филология. Греческое слово αριθμός не является простым аналогом латинского numerus (и производных от него новоевропейских numero, Nummer, nombre, number) – его значение гораздо шире, как и значение русского слова "число". Слово "номер" тоже вошло в русский язык, но не стало тождественным слову "число", а применяется лишь к процессу "нумерации" – русская интуиция числа совпадает с древнегреческой.

Нумерология не тождественна аритмологии, а только часть аритмологии, хотя формально – это латинская калька соответствующего греческого термина. Теория чисел занимается только целыми числами, поэтому более точным ее названием было бы "Теория номеров" (хотя уже есть ещё более узкая "Теория нумераций").

В современной философии математики обычно принято противопоставлять учение Георга Кантора о реальности актуально трансфинитного учению Аристотеля, будто бы отрицавшего эту реальность. Но именно учение Аристотеля об энтелехии (предполагающее реальность актуализации, то есть перехода потенциально сущего в актуально сущее) даёт возможность оправдать учение Кантора о трансфинитном. Антиномия терминов "актуальное" и "трансфинитное" разрешается именно тем, что трансфинитное реально существует именно в виде энтелехии! Мы намеренно не используем русское слово "бесконечное", так как оно не совсем верно передаёт смысл Канторовского термина "трансфинитное", который правильно было бы перевести на русский как "сверхконечное" – отсюда значительная часть недоразумений, возникающих при переводах трудов Георга Кантора на русский язык. (А "бесконечному" соответствовал бы латинский термин "infinitum"). Согласно учению Аристотеля о предмете математики (впоследствии подтверждённому и развитому неоплатоником Проклом), математика есть нечто среднее, промежуточное между мiром духовным и мiром вещественным (ὑλή), отличающееся и от того, и от другого. Но математика призвана "охватывать" оба мiра, составляя с ними единое Целое. Хотя в каждом из этих мiров – свои собственные законы, но математика включает их в свой состав. Да, роль "медиатора" между двумя мiрами она тоже выполняет (или должна выполнять), и в этом Аристотель и Прокл правы! Однако ея роль не сводится к роли "медиатора", так как она выполняет свою задачу и в каждом из этих мiров, рассматриваемых по отдельности, и при любых формах взаимодействия обоих мiров. (Формулы этого взаимодействия ещё предстоит найти). То есть – область математики не сводится лишь к "границе" между мiрами, а включает их в себя целиком.

Простейшее число – это число "нуль". Чтобы создать из него простейшее числовое поле, надо "сосчитать" его. "Сосчитав" его, мы получаем число "один", так как нуль "встретился" нам пока всего один раз. Теперь у нас – уже два числа, производя над которыми дальнейшие арифметические операции, мы можем строить числовое поле, расширяя этим само понятие числа. Но, чтобы произвести эту, самую первую, арифметическую операцию – уже необходим Некто, кто её производит, иначе нуль так и оставался бы всегда лишь нулём, и не было бы ни времени, ни числового поля, ни самого Космоса. Таково чисто математическое доказательство бытия Божия, независимое от признания или непризнания реальности видимого мiра, без привлечения каких-либо внематематических понятий. То есть вечное бытие Актуально Трансфинитного является необходимой предпосылкой любого бытия, начиная с мiра чисел, и продолжающегося в мiре физическом.

Именно таким образом реализуется мысль Пифагора о порождении мiром чисел мiра вещественного. (Хотя сам тезис "всё есть число" сформулирован не им, а Аристотелем) Число – это не результат абстрагирования от мiра вещей, а то многомерное Целое, проекции которого в трёхмерный мiр являются нам в виде отдельных структур и предметов.

А что же представляют собой привычные числа, употребляемые в современной редукционистской математике, – целые, рациональные, иррациональные, комплексные? Это – "предельные случаи" числа, в природе не встречающиеся, как не встречаются лишенные длительности временные интервалы – "мгновения времени".

Общеизвестные элементарные арифметические операции (сложение, умножение, возведение в степень и обратные к ним) далеко не исчерпывают всего богатства возможных операций. Уже участие чисел в элементарной арифметической операции порождает новые числа. При этом "исходные" числа никуда не пропадают – все этапы истории числа сохраняются в Вечности – это и является основой Закона сохранения информации.

Сегодняшняя редукционистская математика – математика "плоского" мiра – такой же частный случай чаемой математики мiра многомерного, как, в рамках сегодняшней математики, евклидова геометрия представляет собой частный случай геометрии Лобачевского или геометрии Римана, приспособленный для мiра, в котором бы отсутствовало вещество, то есть – для мiра нереального.

Ограничив область своего применения мiром вещественным, современная редукционистская математика не способна адекватно представить даже этот вещественный мiр. Но можно ли найти общий принцип, объединяющий оба мiра? Да! Монадология Лейбница и Н.В. Бугаева даёт возможность рассмотреть все виды живых существ в качестве монад, под которыми Лейбниц понимал "простые, непротяжённые субстанции, одарённые стремлением и способностью представления" [Лейбниц, 1989]. Более того, монаду в понимании Лейбница можно отождествить с Числом, в максимально расширенном смысле этого понятия. Монада есть становящееся (индивидуализирующееся) число. К этому числу вполне применимо введённое А.Ф. Лосевым именование числа гилетического [Лосев, 2011].

Но к числам такого рода можно применить и понятие "адельные числа".

"Адельные числа были введены в математику немного раньше ультраметрики, на рубеже 1930-1940-х годов. Родоначальником аделей был французский математик Клод Шевалле (1909 – 1984). Суть адели сводится к тому, что это – вектор или безконечная последовательность чисел, где на первом месте стоит произвольное действительное (вещественное) число, а на всех остальных – p-адические выражения для того же самого числа по всевозможным нарастающим значениям простого p. Благодаря такой конструкции они одновременно демонстрируют свойства архимедовой и фрактальной (неархимедовой) топологии".[Татур, 2017].

В своей ранней работе "Тайны нового мышления" В.Ю. Татур отметил безуспешность попыток некоторых ученых описать квантовые процессы, пользуясь понятиями гильбертова пространства: "Здесь мы имеем явное противоречие между природным процессом и его математическим описанием, отражающим общепринятые представления о пространстве и времени как протяженности и длительности. Поэтому оказалось необходимым определить свойства того уровня материи, который является базисом для описания квантовых объектов как единых и неделимых. Очевидно, что его свойства должны присутствовать в каждой точке пространства, имеющего протяженность. Такие условия позволяют для описания этого уровня использовать математический аппарат нестандартного анализа, в котором в качестве объекта имеет существование монада (терминология Лейбница). Ее свойства таковы, что она может содержать актуально трансфинитное число элементов, и это множество никогда не пересечется с множеством другой монады. Таким образом, можно определить, что каждая точка гильбертова пространства представляет собой многоуровневую систему, в которой происходит движение квантового перехода с изменением энергетического состояния. Всякая макроквантовая система (биосфера, галактика и т. д.) представляет собой на определенном уровне монаду, и, таким образом, является единым и неделимым целым… В парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена нашли наиболее четкую формулировку следствия, вытекающие из нелокальности квантовых объектов, т.е. из того, что измерения в точке А влияют на измерения в точке B. Как показали последние исследования – это влияние происходит со скоростями, большими скорости электромагнитных волн в вакууме. Квантовые объекты, состоящие из любого количества элементов, являются принципиально неделимыми образованиями. На уровне Слабой метрики – квантового аналога пространства и времени – объекты представляют собой монады, для описания которых применим нестандартный анализ. Эти монады взаимодействуют между собой и это проявляется как нестандартная связь, как корреляция" [Татур, 1990].

Согласно классической теории вероятности, для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю. Это даёт возможность интерпретировать любое ненулевое значение корреляции в качестве меры информации, содержащейся в памяти монады. Новую математическую дисциплину, предметом которой будет корреляционное взаимодействие монад, можно будет назвать корреляционным исчислением. Корреляционное исчисление не может быть сведено к применяемому в математической статистике корреляционному анализу. Оно охватит не только взаимодействия, вызванные «действующими» причинами, но и информацию телеологического происхождения, будет способствовать ее осмыслению и оформлению, подобно тому, как восприятие музыки способствует оформлению интуитивных прозрений математика.

Усвоение информации монадой есть создание вечных (то есть трансфинитных в буквальном значении этого слова – "выходящих за пределы конца") коррелятов временных событий, или, то есть трансфинитных аналогов финитных чисел, содержащих информацию о конкретном событии. Монады суть числа неограниченной ёмкости, и в этом их трансфинитность (потенциальная, если речь идёт о гилетическом числе, и актуальная, если рассматриваемое число – метагилетическое, то есть представляет собой элемент духовного мiра). Вместе с тем, усваивая информационные блоки, то есть множества финитных чисел, монады осуществляют реальную связь между финитным и трансфинитным аспектами реальности. Операция усвоения представляет собой создание в памяти монады финитных образов трансфинитных множеств. Операция актуализации есть новое генерирование финитных ключей, открывающих каналы связи с этими множествами. Поэтому Корреляционное исчисление можно было бы назвать Исчислением монад, то есть математикой конкретных чисел, а не отвлечённых количеств.

Как "высунуться" (по выражению Клиффорда Пиковера) из "нашего" пространства в пространство большей размерности? Можно ли выводить информацию за пределы трёхмерного мiра, хранить её там, и выводить её оттуда, когда это нам понадобится? Казалось бы, в физическом мiре мы никаким образом не можем вырваться за пределы трёхмерного пространства и одномерного времени, что действия, производимые в трёхмерном мiре, не могут производить изменения за его пределами, то есть в мiре высших измерений, создавать там что-то новое. Но ведь в математике именно так и происходит, когда мы, извлекая корень из отрицательного числа, создаём мнимое число, распространяя тем самым мiр чисел с числовой прямой на плоскость! Вся история математики свидетельствует о постоянном расширении областей возможных операций, при которых появляются и соответствующие им числовые пространства. Возникновение живых существ, появление памяти – есть как раз преодоление времени, открывающее возможность свободного доступа во все области четырёхмерного континуума. Жизнь преодолевает "законы физики", сформулированные в результате наблюдений "неживой" природы!

Свойством любой биосистемы является способность к усвоению информации, то есть к приданию ей энергийного статуса (в терминах Аристотеля). Биосистема способна и к опережающей реакции на информацию телеологического происхождения, и к актуализации, то есть переводу этой информации из неметризуемого пространства δύναμις в пространство метризуемое. Актуализация информации может сопровождаться объективацией, то есть созданием в физическом пространстве новых экземпляров воспринятых ранее объектов любой сложности, включая сами биологические клетки и организмы в целом. При этом элементом живого вещества можно считать не отдельный модус монады, вещественно реализованный в виде молекулы ДНК, а монаду в целом, обладающую нередуцируемой сложностью, то есть естественный коррелятор. Любая биосистема есть система естественных самовоспроизводящихся корреляторов.

Корреляционное взаимодействие монад ("элементарных" частиц, живых существ, биоценозов, искусственных корреляторов) происходит в неметризуемом пространстве. Но управление этим взаимодействием может осуществляться посредством кодов, реализованных в пространстве физическом. Эти коды сами могут быть переданы посредством корреляции от одного модуса к другому и вещественно реализованы в естественных апериодических кристаллах (хромосомах) или искусственно выращенных кристаллах (модусах коррелятора). Таким образом мы можем, хотя бы частично, управлять процессами, происходящими в неметризуемом пространстве, посредством процессов физических, проявляющихся в виде целенаправленного поведения. Сам естественный язык подразумевает телеологическую причинность, когда мы говорим о "генетической программе" будущего развития организма. Говоря так, мы концентрируем внимание не на том, как возник генетический код и каковы его пространственные координаты, а на том, каково его назначение, то есть на его целевой причине.

В настоящее время большинство математиков занимается либо решением чисто теоретических задач (таких, как решение Теоремы Ферма или Теория доказательств), либо, наоборот – узко прикладными задачами, не выходящими за рамки механистического мiровидения. Разработка математического аппарата корреляции монад должна стать магистральным направлением математики, объединяющей духовный и вещественный мiры в единое целое.

Необходима переоценка самих оснований математики, ее аксиоматики. К этой переоценке и приступает Лосев в "Диалектических основах математики". Он пишет:

"Общей особенностью современной математической аксиоматики является ее формалистический и антидиалектический характер. Выставляется ряд аксиом; и – неизвестно почему, собственно взяты эти аксиомы, а не другие и откуда можно почерпнуть гарантию полноты этого списка аксиом. Такая беспомощность вполне характерна, напр., для знаменитого Гильберта, которого математики почему-то особенно превозносят именно в этом отношении. Мы читаем его перечисление аксиом – и совершенно не знаем, откуда он их получил, как к ним логически пришел и действительно ли все аксиомы тут перечислены. Ведь система аксиом должна быть такова, чтобы была действительно ясна ее полнота и логическая завершенность. У Гильберта же мы можем в крайнем случае сказать только то, что каждая из данных аксиом имеет в математике действительное значение, но совсем не можем сказать, что тут исчерпана вся аксиоматика, и не знаем, где гарантия ее логической законченности" [Лосев, 2013].

Критикуя учение Леопольда Кронекера о сводимости чисел, Лосев пишет: "Общеизвестные попытки свести все типы числа на целое и положительное число, ни, тем более, резким образцом которых может служить учение Кронекера, заведомо обрекаются для нас на полный неуспех. Л. Кронекер сводит всю математику на теорию натуральных чисел и целых целочисленных функций от неопределенных символов u, v, w, при конечном числе операций. В результате все эти ухищрения сводятся только к новому математическому правописанию, так как фактически нет, конечно, никакой возможности избежать самих логических категорий, лежащих в основе каждого типа. <…> Упование на то, что все числа можно «свести» на целые числа, вредно ещё и тем, что оно до известной степени преграждает анализ тех категорий, которые заложены в основе разных типов чисел, понимаемых как специфические индивидуальности. Тут надо уметь не столько «сводить» одно на другое, сколько «выводить» одно из другого" [Лосев, 2013].

Критика Лосевым современных ему аксиоматических систем совпала во времени с кризисом оснований математики, вызвавшим острую дискуссию о природе математических структур. Обладают ли они реальным онтологическим статусом или существуют лишь в воображении учёных? Согласно Бернайсу и Гёделю, математические объекты имеют объективное существование, и работа учёных состоит в том, чтобы открывать характеристики этих объектов. Противоположную позицию занимают конструктивизм и формализм, согласно которым математические структуры – лишь произвольные конструкции учёных, подобные шахматным правилам. Однако и конструктивисты, и формалисты, забывая о декларируемых ими взглядах, в своей повседневной работе ведут себя так, как если бы они сознавали реальность математических структур.

В 1931 г. Курт Гёдель доказал существование высказываний, не выводимых дедуктивным путём из аксиом арифметики. Позже было установлено, что выводимые высказывания составляют лишь неизмеримо малую часть всех высказываний, истинность подавляющего числа которых нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

"Гёделевская революция" навсегда покончила с наивной уверенностью во всеохватности формального мышления, свойственной тогда большинству "научного сообщества", показав, что попытка вывести главнейшие истины рациональным путем приводит к осознанию разумом своих границ. А.Н. Паршин так сформулировал значение теоремы Гёделя не только для математики, но и для человеческой культуры вообще: "Если бы не было теоремы Гёделя, то жизнь не только не была бы приятнее, её просто не было бы… Теорема Гёделя показывает не просто ограниченность логических средств, она говорит о каком-то фундаментальном, глубинном свойстве мышления и, может быть, жизни вообще. Если мы что-то хотим понять в мышлении человека, то это возможно не вопреки теореме Гёделя, а благодаря ей" [Паршин, 2002].

Согласно Паршину, из теоремы Гёделя вытекает тщетность попыток создания так называемого "искусственного интеллекта», которым "цифровизаторы" до сих пор пытаются заменить и подменить интеллект естественный: "Памятные моему поколению прогнозы построения интеллектуальных автоматов, делавшиеся у нас в 60-х годах, по существу могли бы быть сразу же опровергнуты именно теоремой Гёделя, полученной за тридцать лет до того и дружно проигнорированной этой частью научного сообщества. Будущим историкам науки придётся долго разбираться, почему запрет существования вечного двигателя – это естественная максима нынешней науки, а попытки сформулировать запрет «думающей машины» считаются тормозом на пути прогресса" [Паршин, 2002].

Именно выход за пределы "рациональной логики" и переход к "логике абсурда", как это ни парадоксально – дают возможность приобрести точные знания о реальном мiре. "Лжеименной разум" сменяется разумом истинным. Мысль Тертуллиана (De Carne Christi V, 4): "Et mortuus est dei filius; prorsus credibile est, quia ineptum est. Et sepultus resurrexit; certum est, quia impossibile" ("И умер Сын Божий — это совершенно достоверно, ибо нелепо; и, погребенный, воскрес — это несомненно, ибо невозможно"), — может быть даже усилена, так как "безумны" и "невозможны" не только смерть и Воскресение Бога, но и само существование Его и сотворенного Им мира. "Невозможность" преодолевается Чудом.

Знаменитые афоризмы Лосева: "Верую, потому что максимально разумно" и "Вера есть требование максимально развитого разума", обычно понимаемые, как полемика с Тертуллианом, – не только не противоречат мысли Тертуллиана, но последовательно продолжают эту мысль, полностью раскрывая заложенный в ней глубинный смысл. Сама логика приводит к осознанию необходимости новой аксиоматики, основанной на понимании принципиальной неполноты рационального сознания.

В "Диалектических основах математики" Лосев формулирует и новое понимание случайности в математике: "Настоящая действительность вмещает в себя самопроизвольность своего протекания, и потому ей всегда свойственна стихия случайности. Случайность же, данная в смысловой сфере, есть как раз вероятность. И потому теория вероятностей и статистика есть то в математике, что максимально близко отражает на себе действительность, и притом действительность не природы только, но и жизни, животной и социальной. Это уже будет не просто действительность числа, но история числа, понимая под этим как животное развитие и всю органическую жизнь, так и человеческую, социальную» [Лосев, 2013]. Очевидно, что термин "случайность" Лосев употребляет не в расхожем смысле – как синоним "хаотичности", а в том специфическом смысле, который этот термин приобрел (к моменту оформления лосевской философии математики) в теории вероятностей. Здесь случайность – не мера хаотичности, а мера "фактичности" или конкретности событий, не детерминированных предшествующими событиями (тогда они могли бы быть выведенными дедуктивно), а непредсказуемыми заранее и, именно в силу этой непредсказуемости, порождающими новую информацию.

В главе "Функция и соседние категории" Лосев проводит принципиальное различение между функциональной и корреляционной зависимостью: "Стоит обратить особое внимание на значение категории «функция» в теории множеств и в теории вероятностей. В первой из названных наук эта категория связана с процессом отображения одного множества на другом и на установлении того или иного соответствия отображенного с отображающим. Во второй из названных наук функция приобретает значение т.н. корреляции, которая, в связи с тем, что в данном случае происходит исчисление бытия фактически случайного, как раз и есть функция, но без чисто функционального содержания, а только с фактически опосредствованным" [Лосев, 2013].

Если функциональная зависимость определяется общей действующей причиной, то корреляционную зависимость можно объяснить лишь единством цели. Таким образом, формирование числа завершается лишь с наступлением события, являющегося целевой причиной взаимодействия чисел. Для любых участвующих в операции чисел такой причиной является полное объединение множеств их предикатов с сохранением порядка расположения элементов этих множеств. Поэтому мерой взаимодействия чисел можно считать не функцию (меру каузальной зависимости), а корреляцию. Классическая теория вероятности дает возможность интерпретировать любое ненулевое значение корреляции в качестве меры информации, передаваемой и принимаемой участвующим в операции числом.

Физическая корреляция – не омоним математической корреляции, а несиловая связь – конкретное проявление в вещественном мiре обмена информацией между числами, происходящего по законам корреляции математической.

Корреляционное понимание природы информации соответствует реалиям квантового мiра. Поэтому именно математика корреляций (в обоих смыслах этого слова – и математическом, и физическом) призвана стать математическим аппаратом квантовой физики, вместо искусственно привязанного к ней (подобно пресловутым "эпициклам" в геоцентрических системах) громоздкого математического аппарата, основанного на математике функций. Создание такой математики – не "рационализация", а приведение математики в соответствие с новым пониманием числа, структуры и математической операции.

Литература

Бугаев Н.В. Основы эволюционной монадологии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.25505, 14.06.2019:

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001g/00164059.htm

Бунин В.А. Биоподобие техногенных систем: Математический код метагармонии. М.: КРАСАНД, 2010. – 96 с.

Гуссерль Э.Г. Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии. Т. 1. М.: ДИК, 1999.

Кудрин В.Б. Бытийный статус числа и вселенская информационная сеть – Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013.

Кудрин В.Б. Гилетика в суперсистеме знаний Аристотеля // Biocosmology – neo-Aristotelism. Vol. 5, Nos 3&4, 2015. С. 414 – 422.

Кудрин В.Б. Пути преодоления редукционистской математики и создания математики целостности // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.25195, 17.02.2019:

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001g/00163952.htm

Лейбниц Г. В. Сочинения в 4 т., Т. 4. М.: Мысль, 1989.

Лосев А.Ф. Критика платонизма у Аристотеля. М.: Академический проект, 2011.

Лосев А.Ф. Диалектические основы математики. М.: Academia, 2013.

Паршин А.Н. Путь. Математика и другие миры. М.: Добросвет, 2002.

Татур В.Ю. Тайны нового мышления. М.:1990.

Татур В.Ю. Иерархия мира Н.О. Лосского:

http://www.tatur.trinitas.pro/2013/10/ierarhiya-mira-n-o-losskogo/

Татур В.Ю. О Субстанции Отображение // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.24701, 14.08.2018:

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163766.htm

В.Ю. Татур, Р-адические числа, ультраметрика и ментально-вещественный мир // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.23820, 12.10.2017

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0001/005c/00012019.htm

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]