Интегрирование, как обобщение суммирования (символ в виде удлиненной литеры s – summa), – одно из важнейших понятий математического анализа.

Возникает при решении многих задач, в том числе нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, восстановления функции по её производной (неопределенный интеграл) и др.

Золотое сечение (ЗС) в своей классической постановке непосредственно связано именно с геометрическим определением площадей, хотя и выражено через пропорциональное деление фиксированного прямолинейного отрезка.

Достаточно вспомнить, что построение золотого сечения рассматривалось ещё Евклидом (предложение 11 второй книги «Начал») как раз в формулировке сравнения и равенства площадей [1, с. 75]: «Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке».

Древнегреческие математики не писали формул, а золотое отношение получали и выражали на языке геометрии: квадрат на большей части отрезка равновелик прямоугольнику, сторонами которого служат целый отрезок и меньшая его часть.

Таким образом, "площадочный" способ (метод) исторически стал доминирующим подходом к обоснованию и построению золотого сечения с его последующим аналитико-численным представлением и изучением.

С тех пор много воды утекло...

Золотая пропорция выросла из чисто геометрических штанишек и стала применяться для сравнения-сопоставления частей систем и/или объектов различной природы. В том числе и сложных геометрических фигур разнообразной формы, для которых просто невозможно обойтись без методов интегрального исчисления.

В настоящей работе рассматриваются определенные и неопределенные интегралы, которые содержат золотую константу в разных вариациях: пределы интегрирования, подынтегральная функция и/или собственно решение.

Для удобства изложения и наглядности восприятия многие из них снабжены геометрическим сопровождением в виде нахождения площади под заданной кривой.

Рассмотрим несложную задачу построения золотых сечений в обычном квадрате (с центром в точке O), в котором проведем полуокружность на отрезке AC как на диаметре и хорды AB, BC (рис. 1).

Без потери общности стороны квадрата примем равными 2.

Площадь четверти квадрата равна S₁=1.

Построения и вычисления весьма простые, поэтому не будем их особо описывать и комментировать, а приведем только одно слово, которое в подобном случае писали математики в Древней Индии: «Смотри!» – рис. 1.

При сравнении площадей в данном случае вполне достаточно простых формул, для квадрата и прямоугольного треугольника.

формате PDF (1066Кб)