Настоящей публикацией представляем вашему вниманию Часть 2

Математика в ее историческом развитии. С чего начиналась математика? Каковы основные периоды в ее развитии? Ответ на этот далеко не простой вопрос мы находим в книге выдающегося советского математика Андрея Николаевича Колмогорова «Математика в ее историческом развитии» (1991) [52]. Колмогоров пишет:

«Ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в 6-5 вв. до н.э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6-5 вв. до н.э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математического исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших еще на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счету предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчетам и т.п.».

В этой цитате, взятой из упомянутой книги, выделено два важнейших периода в развитии математики на этапе ее становления как самостоятельной науки: этап зарождения математики (догреческий период) и этап элементарной математики (от греческой математики 6-5 вв. до н.э. и до начала 17 в.), и обращено особое внимание на две главные практические задачи, которые стимулировали развитие математики на этапе ее зарождения. Это – задача счета и задача измерения.

Поместные или позиционные системы счисления. Именно на этапе зарождения математики было сделано несколько выдающихся открытий, которые оказали огромное влияние на развитие не только математики, но и всей материальной культуры. Одним из них является открытие поместного или позиционного принципа представления чисел. Считается, что это открытие было сделано вавилонянами и воплощено ими в Вавилонской 60-ричной системе счисления. Системам счисления уделялось особое внимание на этапе зарождения математики, а их создание стало общим делом всего человечества. Кроме Вавилонской 60-ричной системы, на этапе зарождения математики была изобретена еще одна интересная система счисления. Речь идет о древнеегипетской системе счисления. Система счисления древних египтян была десятичной, но непозиционной. При этом главным достижением древних египтян в этой области стало открытие так называемого «метода удвоения». Этот метод лежит в основе оригинальных способов умножения и деления чисел, которые являются прообразом современных методов двоичного умножения и деления, используемых в современных компьютерах. Можно без преувеличения сказать, что именно эти два математических открытия в области систем счисления (позиционный принцип и метод удвоения) оказали затем огромное влияние на развитие не только математики, но и информатики. Открытый вавилонянами позиционный принцип лежит в основе всех наиболее известных систем счисления, в частности десятичной, 12-ричной, 20-ричной системы Майя, наконец, двоичной системы, лежащей в основе информатики, развитие которой, начиная со второй половины 20 в., стало едва ли не главным катализатором современного научно-технического прогресса.

«Ренессанс» в теории систем счисления. К сожалению, разработка теории систем счисления, по выражению Козьмы Пруткова, «не входит в круг понятий» современной математики. Поэтому в этой области современная математика не намного ушла вперед по сравнению с периодом своего зарождения. Однако, в связи с созданием компьютеров и информационных технологий во второй половине 20 в. неожиданно проявился огромный интерес к новым способам представления чисел и новым компьютерным арифметикам. При этом возник очень интересный аспект этой проблемы с исторической точки зрения. Спустя 4 тысячелетия после изобретения вавилонянами позиционного принципа, в области систем счисления возник период своеобразного «ренессанса». Благодаря усилиям, прежде всего, специалистов в области компьютеров, математика как бы вновь возвратилась к периоду своего зарождения, когда именно системы счисления определяли содержание и сущность математики. Но ведь период зарождения математики, по мнению многих историков математики, считается чрезвычайно важным для развития математики. Именно в этот период были заложены основы такого важнейшего математического понятия как натуральное число и начала создаваться теория чисел, которая по праву называется «царицей математики». Но тогда вполне резонным является постановка следующего вопроса: а не могут ли современные системы счисления, созданные для удовлетворения утилитарных потребностей компьютерной техники, повлиять на развитие самого понятия числа и теории чисел и таким путем оказать влияние не только на развитие компьютерной науки, но и всей математики. Поиск ответа на этот вопрос и является одной из задач части 2 настоящей книги.

Система счисления Бергмана. В 1957 г. в математике произошло событие, которое, к сожалению, не было замечено математиками. Юный американский математик Джордж Бергман в виде увлекательной игры предложил новый способ позиционного представления чисел, названный им системой счисления с иррациональным основанием [55]. Суть нового метода представления чисел состояла в том, что основанием данной системы счисления является знаменитая «золотая пропорция» - уникальное иррациональное число Ф = (1+ √5)/2, которое было одним из главных выразителей гармонии Мироздания в древнегреческой науке и математике. Благодаря «системе Бергмана» античная идея Гармонии вошла в теорию чисел! Открытие американского вундеркинда, которому в тот момент было всего лишь 12 лет (случай беспрецедентный в математике!) по праву считается одним из наиболее крупных современных математических открытий в области систем счисления. Это открытие переворачивает наши представления не только о системах счисления, но и о соотношении между рациональными и иррациональными числами и таким образом затрагивает основания математики.

Идея систем счисления с иррациональными основаниями была подхвачена автором настоящей книги. В 1980 г. автором были предложены так называемые коды золотой пропорции [56], которые основаны на понятии золотых р-пропорций и являются широким обобщением системы Бергмана. Основы теории кодов золотой р-пропорции изложены в книге автора «Коды золотой пропорции» (1984) [12].

Но одновременно с новыми математическими результатами в области систем счисления [55,56] в современной науке были получены новые результаты в развитии математической теории измерения, которая восходит в своих началах к открытию пифагорейцами несоизмеримых отрезков и к «Началам» Евклида. Речь идет о разработке так называемой конструктивной (алгоритмической) теории измерения. Эта теория была создана в середине 60-х годов 20 в., как теория оптимальных алгоритмов аналого-цифрового преобразования [57,58]. Термин «алгоритмическая теория измерения» был введен автором настоящей книги в 1973 г. Основы этой теории изложены в книге автора «Введение в алгоритмическую теорию измерения» (1977) [9].

Основной методологической идеей алгоритмической теории измерения является так называемый принцип асимметрии измерения [58], который был сформулирован автором при изучении задачи Баше-Менделеева – исторически первой оптимизационной задачей в области теории измерения. Наиболее неожиданным результатом алгоритмической теории измерения, вытекающим из принципа асимметрии измерения, стали так называемые фибоначиевые алгоритмы измерения. Именно при решении этой задачи были введены р-числа Фибоначчи, которые, как оказалось (Джордж Пойа), могут быть также получены из треугольника Паскаля путем вычисления его «диагональные сумм». Фибоначчиевые алгоритмы измерения привлекли к открытию так называемых р-кодов Фибоначчи [59-67] – новых способов позиционного представления натуральных чисел, которые являются обобщением классической двоичной системы счисления. Весами разрядов в р -кодах Фибоначчи являются р -числа Фибоначчи. Понятие р -кодов Фибоначчи является обобщением классической двоичной системы счисления. Количество р -кодов Фибоначчи теоретически бесконечно, так как каждому соответствует свой р -код Фибоначчи.

Коды золотой р -пропорции [56] вместе с р -кодами Фибоначчи [59-67] и стали основой новой цифровой метрологии [63,64] и новых компьютерных арифметик – арифметики Фибоначчи и «золотой» арифметики, которые были положена в основу концепции компьютеров и микропроцессоров Фибоначчи [68] как нового направления в повышении информационной надежности компьютеров и микропроцессоров.

В 70-е и 80-е годы 20 в. это направление оказалось в центре внимания советской компьютерной науки и привлекло внимание не только советских научных деятелей, но и государственных деятелей. Было осуществлено широкое патентование советских изобретений по направлению «компьютеры Фибоначчи» за рубежом [69-82]. Более 60 патентов США, Японии, Англии, Франции, ФРГ, Канады и других стран являются официальными юридическими документами, которые подтверждают приоритет советской науки (и приоритет автора настоящей книги) в этом научном направлении.

Наконец, еще одним оригинальным результатом в этой области является так называемая троичная зеркально-симметричная арифметика. Такая арифметика была разработана автором в конце 20 в. и описана в статье A.P. Stakhov. Brousentsov’s ternary principle, Bergman’s number system and ternary mirror-symmetrical arithmetic [83], опубликованной в 2002 г. в одном из наиболее престижных компьютерных журналов - «The Computer Journal». Статья вызвала большой резонанс в западной, в частности, американской науке. Первым, кто поздравил автора с этой публикацией, стал выдаюшийся американский ученый Дональд Кнут, автор книги «Искусство программирования», научного бестселлера 20 в.

Представляет также интерес разработанная автором новая теория кодирования, основанная на матрицах Фибоначчи [84]. Эта теория описана в статье Stakhov A. Fibonacci matrices, a generalization of the “Cassini formula”, and a new coding theory, опубликованной в 2006 г. в журнале «Chaos, Solitons & Fractals» [85].

Часть 2 трехтомной монографии «Основы математики гармонии и ее приложения» посвящена изложению указанных выше результатов. Эта часть монографии состоит из 7 глав:

Глава 5. Основы конструктивной (алгоритмической) теории измерения

Глава 6. Принцип асимметрии измерения и фибоначчиевые алгоритмы измерения

Глава 7. Эволюция систем счисления

Глава 8. Фибоначчиевые системы счисления

Глава 9. Коды золотой пропорции и «золотая» теория чисел

Глава 10. Микропроцессоры Фибоначчи

Глава 11. «Золотая» троичная зеркально-симметричная арифметика

Глава 12. Перспективные идеи в развитии фибоначчиевого кодирования

Главная цель 2-й части книги «Основы математика гармонии и ее приложения» - дать ответ на вопрос: «Существует ли в современной информатике альтернатива классической двоичной системе счисления?». Эта часть посвящена изложению новых прикладных математических теорий: алгоритмической теории измерения, теории систем счисления с иррациональными основаниями (кодов Фибоначчи и золотой пропорции), троичной зеркально-симметричной арифметики и новой теории кодирования, основанной на матрицах Фибоначчи. Эти теории представляют интерес не только для информатики, но и для математического образования. Они могут быть использованы при проектировании компьютерных систем и микропроцессоров повышенной информационной надежности.

формате PDF (3179Кб)